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Origine : |
La théorie des courbes elliptiques est assez récente : elle s'est surtout développée ces dix dernières années.
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Mécanisme : |
Une courbe elliptique est une courbe mathématique définie par l'équation implicite suivante :
où 
et 
sont choisis tel que 
. Voici par exemple la courbe 
qu'on obtient facilement avec Maple
:
On peut définir sur une courbe elliptique l'addition
de deux points P
et Q de la façon
suivante :
- On trace la droite 
. Elle coupe la courbe elliptique en un point qu'on appelle 
.
- Le point 
est obtenu en prenant l'image de 
par la symétrie axiale d'axe 
.
Si on veut effectuer 
, alors on prendra comme droite la tangente au point P.
Par la suite, on notera 
la somme 
(k fois).
Si P n'est pas "trop
particulier" et si l'on considère notre courbe elliptique sur un
corps fini, alors il est très difficile de trouver un entier a
tel que 
, où P' est un point engendré par P. C'est sur
ce problème dit "du logarithme discret sur les courbes elliptiques"
que repose la cryptographie à base de courbes elliptiques.
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Exemple : |
Voir feuille de calcul Maple.
