Si a+ b = 1 on peut utiliser une extension du test probable "en grappe" pour tester en une fois l'ensemble des pi de la chaîne. (Voir Généralisation du théorème d'Euler -Lagrange et nouveaux tests de nombres premiers).
L'implantation de l'algorithme correspondant permet d'obtenir rapidement les premiers résultats suivants ,
avec L >= 5, P1 est le plus petit
nombre premier de cette chaîne de longueur L :
| L | Pi+1 = 4*Pi - 3, P1 |
| 13 | 60389563279 |
| 12 | 95472623 |
11 |
95472623 |
10 |
95472623 |
| 9 | 754451 |
| 8 | 408539 |
| 7 | 5869 |
| 6 | 523 |
| 5 | 331 |
| L | Pi+1 = 6*Pi - 5, P1 |
| 9 | 95807339 |
| 8 | 1273663 |
| 7 | 184409 |
| 6 | 1601 |
| 5 | 1237 |
| L | Pi+1 = 9*Pi - 8, P1 |
10 |
61637129 |
| 9 | 16908181 |
| 8 | 1627603 |
| 7 | 125399 |
| 6 | 13249 |
| 5 | 233 |
De plus, pour a = 2m on peut écrire Pi+1 = ((P1-1)/2)* 2m*i+1 + 1 soit un nombre de Proth avec k= (P1-1)/2, et l'exposant de 2 est en progression arithmétique de raison m ! .
Exemple : pour m=60 on trouve une chaîne de longueur L= 5 avec
P1 = 452227 = 226113*2 + 1,
P2 = 226113*261 + 1
P3 = 226113*2121 + 1
P4 = 226113*2181 + 1
P5 = 226113*2241 + 1
Quelques résultats pour d'autres m :
| L | Pi+1 = (24)*Pi -(24-1) , P1 |
9 |
5676191 |
| 8 | 2218547 |
| 7 | 42701 |
| 6 | 607 |
| 5 | 467 |
| L | Pi+1 = (26)*Pi -(26-1) , P1 |
9 |
6095693 |
| 8 | 3962213 |
| 7 | 9803 |
| 6 | 9803 |
| 5 | 2531 |
| L | Pi+1 = (28)*Pi -(28-1) , P1 |
| 8 | 43105529 |
| 7 | 427591 |
| 6 | 156679 |
| 5 | 331 |
| L | Pi+1 = (210)*Pi -(210-1) , P1 |
| 8 | 55469933 |
| 7 | 224563 |
| 6 | 37571 |
| 5 | 4679 |
| L | Pi+1 = (212)*Pi -(212-1) , P1 |
| 8 | 25782037 |
| 7 | 11711033 |
| 6 | 15971 |
| 5 | 6029 |
| L | Pi+1 = (2100)*Pi -(2100-1) , P1 |
| 4 | 67567 |
| L | Pi+1 = (2240)*Pi -(2240-1) , P1 |
| 3 | 4127 |
| L | Pi+1 = (2720)*Pi -(2720-1) , P1 |
| 3 | 8237 |
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