Chaînes de Cunningham généralisées



    On appelle ici "chaîne de Cunningham généralisée" la suite de nombre premiers Pi telle que Pi+1 = a*Pi+b, a et b entiers premiers entre eux. Sa longueur L est le nombre de nombres premiers successifs de cette suite.

    Si  a+ b = 1 on peut utiliser une extension du test probable "en grappe" pour tester en une fois l'ensemble des pi  de la chaîne. (Voir Généralisation du théorème d'Euler -Lagrange et nouveaux tests de nombres premiers).

    L'implantation de l'algorithme correspondant permet d'obtenir  rapidement les premiers résultats suivants ,

     avec L >= 5,  P1 est le plus petit nombre premier de cette chaîne de longueur L :
 

L Pi+1 = 4*Pi - 3,  P1
13 60389563279
12 95472623

11

95472623

10

95472623

9 754451
8 408539
7 5869
6 523
5 331

                           

L Pi+1 = 6*Pi - 5,  P1
9 95807339
8 1273663
7 184409
6 1601
5 1237

L Pi+1 = 9*Pi - 8,  P1

10

61637129

9 16908181
8 1627603
7 125399
6 13249
5 233

De plus, pour a = 2m  on peut écrire Pi+1 = ((P1-1)/2)* 2m*i+1 + 1 soit un nombre de Proth avec k= (P1-1)/2, et l'exposant de 2 est en progression arithmétique de raison m ! .

Exemple : pour m=60 on trouve une chaîne de longueur L= 5 avec

          P1 = 452227 = 226113*2 + 1,
                         P2 = 226113*261 + 1
                         P3 = 226113*2121 + 1
                         P4 = 226113*2181 + 1
                         P5 = 226113*2241 + 1

Quelques résultats pour d'autres m :

L Pi+1 = (24)*Pi -(24-1) ,  P1

9

5676191

8 2218547
7 42701
6 607
5 467

L Pi+1 = (26)*Pi -(26-1) ,  P1

9

6095693

8 3962213
7 9803
6 9803
5 2531

L Pi+1 = (28)*Pi -(28-1) ,  P1
8 43105529
7 427591
6 156679
5 331

L Pi+1 = (210)*Pi -(210-1) ,  P1
8 55469933
7 224563
6 37571
5 4679

L Pi+1 = (212)*Pi -(212-1) ,  P1
8 25782037
7 11711033
6 15971
5 6029

L Pi+1 = (2100)*Pi -(2100-1) ,  P1
4 67567

L Pi+1 = (2240)*Pi -(2240-1) ,  P1
3 4127

L Pi+1 = (2720)*Pi -(2720-1) ,  P1
3 8237


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Création par  Henri Lifchitz le 15 décembre 1998, dernière modification: 17 décembre 1998.