De nouvelles formes de nombres premiers

Soient les nombres des formes suivantes :

Nmp(k,n) = (2 ⁿ- k)*2ⁿ + 1
Nmm(k,n) = (2 ⁿ- k)*2ⁿ - 1
Npp(k,n) = (2 ⁿ+k)*2ⁿ + 1
Npm(k,n) = (2 ⁿ+ k)*2ⁿ - 1

Les nombres premiers des formes (2 ⁿ- k)*2ⁿ + 1 (pour tout k<2ⁿ) et (2 ⁿ+k)*2ⁿ - 1 (pour k pair <2ⁿ) peuvent être testés grâce au théorème de Proth (Test en N-1), les formes (2 ⁿ- k)*2ⁿ - 1 (pour tout k<2ⁿ) et (2 ⁿ+k)*2ⁿ - 1 (pour k pair <2ⁿ) grâce aux suites de Lucas (Test en N+1), les autres formes présentent plus de difficultés.

Il est donc possible d'obtenir des nombres premiers au moins aussi grands que ceux des formes k*2ⁿ+1 ou k*2ⁿ-1 (voir Top ci-dessous).

Ces nombres présentent des similitudes de comportement avec les formes k*2ⁿ+1 ou k*2ⁿ-1:

Il existe des Twins (Nmp(k,n) et Nmm(k,n) premiers ou Npp(k,n) et Npm(k,n) premiers)
Il existe des k Sierpinski ou Riesel et Brier. Il est même inutile de chercher longtemps les plus petits Sierpinski (k=5 +15a pour la forme Nmp et k=10+15a pour la forme Npp) et le plus petit Brier (3+3a pour les formes Nmm et Npm). Pour la forme Nmp k=7,13,34,79,. et la forme Npp k=15,.. sont peut être aussi Sierpinski ?
Il existe des Cullen (k=n dans les quatre formes).
Il existe des Sophie Germain et des chaînes de Cunningham, mais ils sont "visuellement" plus difficiles à repérer.
Nmp(1,n) ne peut être premier que si n=2^a3^b avec a>=1 et b>=0. En pratique il n'est premier que pour n=1,2,4,32 (n<=400000). Les diviseurs de ces nombres sont de la forme 6nc+1 !!, ce qui permet la recherche rapide des nombres composés. La ressemblance avec le comportement des nombres de Fermat (2^{2^n}+1) est "curieuse" et la primalité pour un n (de forme très restrictive 2^a3^b) plus grand que 400000 entraînerait probablement un record.
De même Npp(1,n) n'est premier que pour n=1,3,9 (n<=40000) !

Si l'on pose Np(k,n)=k*2ⁿ+1 et Nm(k,n)=k*2ⁿ-1 il existe de nombreuses relations et propriétés arithmétiques avec les nouveaux nombres premiers .
Des relations avec les nombres de Mersenne sont aussi évidentes : Par exemple :Nmp(2,n)=Mn².

Premiers résultats numériques :
Indice : t = twin, s = Sophie Germain, c = chaîne de Cunningham de seconde espèce, b = BiTwin.

k	*n, Nmp(k,n)=(2 ⁿ- k)2ⁿ + 1 premier**	n max
1	1,2_t,4_t,32	400000(a)
2	Nmp(2,n)=(2ⁿ-1)²=Mn²	-
3	3_s,5,7_s,9,11,13_s,15,19_s,35,39,45,51,59,213,607,1315,1435	3000
4	4_t,8,12,14,18,32,62_tc,66,96,120,122_c,140_t,180,202,228,740,800,810,1012,1142,1386, 1496,1698,4622,5674	19000
5	nkS(3,5)	-
6	3	4000
7	?	180000 (c)
8	5,7_t,13,15_t,27,57,163,217,245,253,637,753,1605,4607,4703,5575,5843,7013, 8913,12645	12689
9	4,7,19,43,46,82,199,247,266,310,379,857	1000
10	4_c,6,10,12,14_c,22,30,34,72,172,264,322,430	1000
11	5,11,27,77,99,285	1000
12	5,6,11,14,21,45,106,111,114,166,221,230,275	1000
13	6564	90000 (c)
14	5,7_t,9,11_t,13,19,25,73,209,361,381,409,471,905	1000
15	4,6,14,22,50,238,258,678	1000
16	8,10_t,16,28,34,62,70,160,226,346,440,446,524,1138,1264,1984,2096,3370,5236,5686, 5918,15440,19592	19681
17	13,15,21,37,39,71,205,227,231,793	1000
18	5,7,13,23,25,35,77,875	1000
19	12,30,44,206,266,340,436,628,682	1000
20	nkS(3,5)	-
21	5,6_s,7,8,9_s,11,13_s,14,15,20,28,45,49,50,57,92,100,101,175,188,428,434,459,478,498, 638,680,731,883,1032,1126,2362,2667,3520,3854,4004,5116,6051,6295,7659,8796, 8862	14000
22	6,42,54,254,506	1000
23	7,17,89,103	1000
24	5,7,8,9,14,359,394	1000
25	10,12,18,30,42,90,282	1000
26	5,11,19,109,445,469,739,881	1000
27	15,21,69,141,309,591,3165	5000
28	8,64,280,608	1000
29	5,45,375,393	1000
30	10,14,22,34,58,122,722	1000
31	6_t,8_c,12_t,18,20,40,160,228,244,260,574,736,820	1000
32	7,17,29,35,37,159,241,277,317,327,395,1181,1675,1763,2043,2083,2099,3973,4055, 6059,6605,6771	8567
33	7,8,16,21,41,48,91,92,148,187,424,527,532,708,833	1000
34	?	100000 (c)
35	nkS(3,5)	-
36	7,11,13,18,31,42,43,141,147,230,239,255,267,295,651	1000
37	26,50,850	1000
38	9,15,37,39,59,105,877	1000
39	6,7,12,18,92,119,236,551,569,637	1000
40	20,24,140,276,390	1000
41	57,327	1000
42	6,9,39,46,50,57,67,82,87,206,282,309,521	1000
43	16,44	1000
44	7,11,49,61,79,139,167,173,269,301	1000
45	6,12,16,18,24,32,72,88,232,250,312,696,878	1000
46	6,12,16,24,42,84,106,114,274	1000
47	7,9,13,19,31,35,37,47,73,79,113,215,299,559	1000
48	12,36,468	1000
49	18,22,70,90,110,192,288,318,658	1000
50	nkS(3,5)	-
51	7,19,25,53,187,251	1000
52	6,10,86,286,434,482,694	1000
53	7,9,11,21,69,153,157,193,219,229,237,367,479,537,677,697	1000
54	6_s,7_s,8,14,17,18_s,20_s,21,27,32_s,37,40,42,53,80,89,92,107,109,215,225,469,474,559,997, 1847	3200
55	6,120	1000
56	11,21,45,51,59,85,93,157,159,225	1000
57	6,9,22,42,54,57,79,153,297	1000
58	20,32,52,112,148	1000
59	95,121,275	1000
60	6,8,18,172,190,334	1000
61	6,8,10,14,24,34,36,50,62,84,130,178,534,930	1000
62	27_c,51,93,189,747_c	1000
63	8,12,33,37,144,207,328,348,537,635	1000
64	12,22,102_t,114,426	1000
65	nkS(3,5)	-
66	7,9,17,91,137,213	1000
67	10,14,38,46,74,122	1000
68	7_c,13,15,25,27,37,43,47,51,93,177,525,575,597,789	1000
69	9,12,30,69,138,267,429,621	1000
70	12,18,20_c,34,62,82,146,226,238,410,444,628,714,942	1000
...
79	?	150000 (c)

(a) par Didier Boivin (c) avec l'aide de Donovan Johnson

k	*n, Nmm(k,n)=(2 ⁿ- k)2ⁿ - 1 premier**	n max
1	2_t,4_t,5,9,10,18,38,45,50,57,108,161,208,224,225,240,354,597,634,1008,1080,1468,1525,1560	3000 (b)
2	2,3,4,6,7,10,12,15,18,19,21,25,27,55,129,132,159,171,175,315,324,358,393,435,786,1459,1707,2923	5000 (b)
3	2,nkB(3)	-
4	3,4_t,10,35,47,62_t,71,82,140_t,335,484,502,655,1451,1475,1934,2464,2647,3562	5000 (b)
5	3,5,9,101,1193	14000 (b)
6	nkB(3)	-
7	3,8,17,49,115,227,416,478,977,1052,1652,1702	3000 (b)
8	4,6,7_t,8,12,15_t,20,30,54,72,84,110,126,139,150,191,211,285,303,369,376,392,447,1566,1588,1795,2550 2743	4000 (b)
9	nkB(3)	-
10	15,31,103,135,253,1141	3000 (b)
11	4,6,13,14,22,28,34,36,41,69,76,93,141,209,216,281,558,617,648,917,1229,1472	2000 (b)
12	nkB(3)	-
13	4,5,8,9,10,14,20,26,28,31,33,41,49,57,92,98,131,344,371,472,609,1136,1589,1853	2000 (b)
14	4,7_t,10,11_t,20,23,26,31,46,52,56,98,547,1256	2000 (b)
15	nkB(3)	-
16	9,10,45,184,325,604,642,994,1368,1756	3000 (d)
...
32	9,11,24,59,79,90,113,125,163,186,199,239,311,312,350,434,543,1833,2022,3422,4624,4812,5445,5856	7000 (d)
34	11,18,26,35,95,98,171,211,374,379,391,815,915,950,2930,4846,5127,7319,7835,9586	10000 (a)
...
64	7,40,47,62,75,80,87,102,112,119,135,219,295,440	2000 (d)
...
127	7,8,11,13,16,17,53,59,88,97,102,123,134,149,155,212,253,278,795,1157,1395,2941	4000 (d)
128	10,16,1735,2235	4000 (d)
...
256	9,10,16,22,38,44,69,109,200,205,440,514,704,1056,1576	3000 (d)
...
511	13,17,29,32,94,326,385,970,992,1018,1186,1232,2470,3994,4717,5258,6514	8000 (d)
512	10,12,14,16,24,27,30,33,36,49,63,94,96,100,137,160,190,294,338,376,387,418,825,1548,1657,1824,1940	3000 (d)
...
1024	31,118,124,138,279,310,315,318,696,747,1176	3000 (d)

(a) par Didier Boivin (b) avec l'aide de Gary Chaffey (d) par Gary Chaffey

k	*n, Npm(k,n)=(2 ⁿ+k)2ⁿ - 1 premier**	n max
1	1_t,2,3_t,4,6,10,16,24,26,35,52,55,95,144,379,484,939	1000
2	1,2,3,5,8,9,12,15,17,18,21,23,27,32,51,65,87,180,242,467,491,501,507,555,680,800	1000
3	nkB(3)	-
4	1,2,5,13,16,20,26,118,128,209,269,296	1000
5	1,3,79	1000
6	nkB(3)	-
7	1_t,2,4,13,40,88,157,652,782,964	1000
8	1,2,3,4,5,9,18,20,21,29,33,61,63,65,104,135,137,204,282,978	1000
9	nkB(3)	-
10	1,299,569	1000
11	2_t,3,4_t,6_t,7,8,23,24,36,52,58,192,224,336,398,544,631	1000
12	nkB(3)	-
13	1_t,2,3,4,5,7_t,8,11,15,22,23,25,27,40,49,62,74,151,187,385,467,650	1000
14	1,2_t,4,5,8,10_t,13,20,40,104,110,170,377	1000
15	nkB(3)	-

k	*n, Npp(k,n)=(2 ⁿ+ k)2ⁿ + 1 premier**	n max
1	1,3,9	40000
2	Npp(2,n)=(2ⁿ+1)²	-
3	1,2,3,6,10,17,37,70,105,126,155,165,215,765	1000
4	1_t,3,5_t,15,17,21,159,161	1000
5	2,4,10,16,20,22,56,68,128,410	1000
6	1,2_s,3_s,4,5,6_s,8,10,11_s,12_s,19,27,28,32,36,48,56,61,131,170,251,750,771,779,790,874, 1176,1728,2604	3000
7	1_t,5,9,11,15,81	1000
8	30,498	1000
9	1,2,3,4,6,14,22,24,68,86,279,645,776,959	1000
10	nkS(3,5)	-
11	2_t,4_t,6_t,16,22,28,34,234,452,476,554,992	1000
12	1_s,4,5_s,7,17,49,67,68,115,445	1000
13	1_t,7_t,43,67,107,203,953	1000
14	2_t,6,10_t,14,22,50,158,418,562,570	1000
15	?	100000 (c)
16	1,3_t,7,9,13,15,19,25,63,75,85,113,119,125,199,363,437,815,885	1000
17	32,68,528	1000
18	1_s,2_s,5_s,10_s,14,29,55,85_s,410	1000
19	1,595	1000
20	2_c,4_c,8,18,22,28,36,38,68,82,124,202,356,452,568,802	1000
21	1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,13,14,15,21,23,36,48,51,52,181,212,338,651,764,895,943	1000
22	3_t,39,423	1000
23	2,6,10,82,270,870	1000
24	1_s,2_s,3,4_s,7,10_s,16,17,23,27,43,49,126_s,187,220,257,443,577	1000
25	nkS(3,5)	-

Les nouveaux "Cullen" et "Woodall" :

NCmp(n)=(2 ⁿ- n)*2ⁿ + 1 premier pour n =1,3_s,4_t,10,11,16,47,57,69,166,327,460,1108,4740,20760,21143 (n<=22000)
NWmm(n)=(2 ⁿ- n)*2ⁿ - 1 premier pour n =2,4_t,5,8,77,377 (n<=1000)
NWpm(n)=(2 ⁿ+ n)*2ⁿ - 1 premier pour n =1_b,2,34,107,1568,1933,3551,6793 (n<=10000 avec l'aide de Gary Chaffey)
NCmp(n)=(2 ⁿ+ n)*2ⁿ + 1 premier pour n =1_b,3,6,14,21,27,51,61,103,123,126,414,499 (n<=1000)

Les nouveaux "Near-Cullen" et "Near-Woodall" :

(2 ⁿ- n+1)*2ⁿ + 1 premier pour n =1_t,2_t,39,44,62 (n<=1000)
(2 ⁿ- n-1)*2ⁿ + 1 premier pour n = 2_t,7_t,11,13,14,20,37,53,71,132,140,613,641,665,757,788 (n<=1000)
(2 ⁿ- n+1)*2ⁿ - 1 premier pour n =1_t,2_t,3,8,14,35,75,83,89,90,215,342,753 (n<=1000)
(2 ⁿ- n-1)*2ⁿ - 1 premier pour n = 2_t,3,7_t (n<=1000)
(2 ⁿ+ n+1)*2ⁿ - 1 premier pour n =1,13 (n<=1000)
(2 ⁿ+ n-1)*2ⁿ - 1 premier pour n = 1_t,2,3,5_t,9,18,30,48,54,278,450,464 (n<=1000)
(2 ⁿ+ n+1)*2ⁿ + 1 premier pour n = 2,3,4,5,15,23,53,57,75,233,464,671 (n<=1000)
(2 ⁿ+ n-1)*2ⁿ + 1 premier pour n = 1_t,5_t,49,269 (n<=1000)

Top :

Forme		Digits	Qui	Quand
Nmp(k,n)	(2^19592-16)*(2^19592)+1	11796	Henri Lifchitz	12/08/1998
Nmm(k,n)	(2^9586-34)*(2^9586)-1	5772	Didier Boivin	17/02/2002
Npm(k,n)	(2^978+8)*(2^978)-1	589	Henri Lifchitz	12/08/1998
Npp(k,n)	(2^2604+6)*(2^2604)+1	1568	Henri Lifchitz	12/08/1998
Twin	(2^309-71)(2^309)-1 (2^309-71)(2^309)+1	187 (p)	Gary Chaffey	30/06/2005
Sophie Germain	(2^130-7228)(2^130)-1 2((2^130-7228)*(2^130)-1)+1	79 (p)	Gary Chaffey	30/06/2005
BiTwin	(2^10-169)(2^10)+/- 1 2(2^10-169)*(2^10)+/- 1	6 (p)	Gary Chaffey	30/06/2005
Nouveau Woodall	(2^6793+6793)*(2^6793)-1	4090	Gary Chaffey
Nouveau Cullen	(2^21143-21143)*(2^21143)+1	12730	Henri Lifchitz	10/05/2004
NCullen&NWoodall = Twin	(2^4-4)(2^4)+1 (2^4-4)(2^4)-1	3	Henri Lifchitz	12/08/1998
CC length 2 (type 2)	(2^747-4)(2^747) + 1 2((2^747 - 4)*(2^747 + 1) -1	450 (p)	Henri Lifchitz	12/08/1998
CC length 3 (type 1)	(2^31-1718)(2^31)-1 2((2^31-1718)(2^31)-1)+1 4((2^31-1718)*(2^31)-1)+3	19 (p)	Gary Chaffey	30/06/2005
CC length 4 (type 1)	(2^20-8161)(2^20)-1 2((2^20-8161)(2^20)-1)+1 4((2^20-8161)(2^20)-1)+3 8((2^20-8161)*(2^20)-1)+7	13 (p)	Gary Chaffey	30/06/2005
Triplets	(2^15-31847)(2^15)-1 (2^15-31847)(2^15)+1 (2^15-31847)*(2^15)+5	8 (p)	Gary Chaffey	30/06/2005

Généralisation: (bⁿ+-k)*bⁿ+-1

Ces nombres ont des propriétés proches de (2^n+-k)*2^n+-1, pour leurs formes de diviseurs et en particulier si k=1 et n=p^m, on reconnait certaines propriétés des nombres de Fermat généralisés. Une étude plus précise sera conduite dès que possible.

Didier Boivin a testé la primalité de ces nombres pour b de 3 à 7, n de 1 à 1000, et k de 1 à 20 (document au format Word).

Vous pouvez aussi consulter le lien suivant :

PrimeForm de Chris Nash.

Création par Henri Lifchitz le 12 octobre 1998, dernière modification: 29 juillet 2005.

De nouvelles formes de nombres premiers

Les nouveaux "Cullen" et "Woodall" :

Les nouveaux "Near-Cullen" et "Near-Woodall" :

Top :

Généralisation: (bn+-k)*bn+-1

Généralisation: (bⁿ+-k)*bⁿ+-1